The Village Україна обирає книгу тижня, пояснює, чому її варто читати та публікує уривок.

Професор Джордан Елленберґ доводить, що увесь наш світ пронизаний математикою. У своїй книзі він показує, як проблеми в політиці, медицині, бізнесі вирішуються за допомогою математики. А ще математично пояснює, за скільки часу потрібно приїжджати в аеропорт, чим є насправді «громадська думка», чому у високих батьків низькі діти, як виграти в лотерею та безліч інших речей.

Бестселер The New York Times, який рекомендує прочитати співзасновник компанії Microsoft Білл Ґейтс.

Антон Мартинов

директор видавництва «Наш формат»

Математика — наука, якою ми часто послуговуємося у повсякденному житті, навіть не замислюючись про це. Так, ми не обчислюємо інтеграли, просто щоб перейти вулицю, не проводимо статистичний аналіз, обираючи що краще з’їсти на обід, і потискаючи знайомим руку навряд чи знаходимо коефіцієнт кореляції, щоб виміряти залежність між міцністю їхнього рукостискання та їх прихильним ставленням до нас. Однак математичні закони в цей час діють, і той, хто здатен їх зрозуміти, зможе досягти успіху у будь-якій ситуації, значно покращивши собі життя. Як стати цим щасливцем? Почати раджу з прочитання книги «Як ніколи не помилятися» американського математика Джордана Елленберґа.

Процес видання будь-якої книги є безпосередньо пов’язаним з математичними обчисленнями: від моменту її відбору і до презентації вже готових примірників. «Як ніколи не помилятися» допомогла мені ще раз у цьому переконатися і зрозуміти, як можна покращити ефективність кожного виробничого етапу. Читачеві ця книга надає численну кількість прикладів механізму роботи математичних принципів на практиці, тож підібрати за аналогією такі, які зможуть стати в нагоді у будь-якій іншій сфері діяльності, буде нескладно.

Наприклад, можна знайти відповіді на загальнопоширені питання на кшталт «як обрахувати свої шанси на виграш тендеру», «як дізнатись, наскільки точними є економічні прогнози» і «чому варто очікувати, що ваші колеги з привабливою зовнішністю будуть більш підступними». І забудьте поширену в суспільстві думку, що математика непотрібна у «реальному житті» — Джордан Елленберґ змусить вас переконатися в протилежному і більше ніколи так не помилятися.

Чого очікувати, сподіваючись на виграш у лотерею

Чи потрібно грати в лотерею?

Загалом розважливою вважається відповідь «ні». Стара приказка вчить нас, що лотерея — це «податок на дурнів», який забезпечує державі дохід коштом людей, достатньо необачних для того, щоб купувати білети. І коли розглядати лотерею як податок, стає зрозуміло, чому вони такі популярні в державних скарбниць. Щоб сплатити цей податок, люди добровільно стоять у чергах до кіосків; скільки ще таких є?

Привабливість лотерей — річ не нова. Історія лотерей починається у XVII столітті в Генуї152; лотерея тут виникла випадково з виборчої системи. Кожні шість місяців змінювалися два члени Таємної ради при дожі — governatori. Замість виборів у Генуї влаштовувалося жеребкування: з купи клаптиків паперу, на яких були написані імена всіх 120 членів Ради, навмання витягували два. Невдовзі гравці в місті почали робити ставки на результати «виборів». Ставки набули великої популярності, тож гравцям почало не подобатися, що потрібно чекати дня виборів, щоб випробувати долю; вони швидко зрозуміли, що коли ставки робляться на клапті паперу, який витягується з купи таких самих, то зовсім не потрібно влаштовувати вибори. Імена політиків замінили числа, і 1700 року в Генуї вже розігрувалася лотерея, що здалася б дуже знайомою сьогоднішнім учасникам лотереї «Павербол». Учасники лотереї намагалися вгадати п’ять випадкових чисел, розмір виграшу залежав від кількості вгаданих чисел.

Лотереї швидко поширилися у Європі, а потім і в Північній Америці. Під час Війни за незалежність США і Континентальний конгрес, і уряди штатів організовували лотереї для збору коштів на боротьбу проти британців. Гарвард, до того, як у нього з’явився фонд з дев’ятизначних чисел, у 1794 і 1810 роках проводив лотереї, кошти від яких пішли на будівництво двох нових коледжів. (Вони і досі використовуються як гуртожитки для першокурсників.)

Поширення лотерей вітали не всі. Моралісти вважали, і небезпідставно, що лотереї — це ті самі азартні ігри. Супротивником лотереї був і Адам Сміт. У «Багатстві народів» він пише:

Про те, що шанси виграшу природно переоцінюються, ми можемо дізнатися із загального успіху лотерей. У світі ніколи не було й не буде повністю чесної лотереї, тобто такої, у якій усі виграші компенсують усі втрати, бо в такому разі організатор лотереї не мав би з неї нічого... Лотерея, в якій жоден виграш не перевищував би двадцяти фунтів, хай ця лотерея в інших відношеннях була б набагато ближчою до повністю чесної, ніж звичайні державні лотереї, не матиме того самого попиту. Щоб отримати кращі шанси на великі виграші, дехто купує по кілька білетів, а інші — дрібні частки ще більшої їх кількості. Проте не існує обґрунтованішого твердження в математиці, ніж те, що чим більше білетів ви наважуєтеся придбати, тим більші у вас шанси програти. Ризикніть на всі білети в лотереї, і ви напевне програєте; і що більше у вас білетів, то ближчі ви до цієї певності.

Пафос Сміта і його гідне захоплення наголошування на кількісних аргументах не мають відвернути вашої уваги від того факту, що його висновок, строго кажучи, неправильний. Більшість гравців у лотерею скажуть, що придбання двох білетів замість одного не збільшує шанси на програш, а навпаки — дає вам удвічі вищий шанс виграти. І це правда! Якщо йдеться про лотереї з простою структурою виграшу, у цьому легко переконатися самому. Припустимо, лотерея має 10 мільйонів числових комбінацій, з яких тільки одна є виграшною. Білети коштують по 1 долару, а джек-пот становить 6 мільйонів доларів.

Людина, що купить усі до єдиного білети, витратить 10 мільйонів доларів і отримає 6 мільйонів призових; іншими словами, саме так, як каже Сміт, ця стратегія — незаперечно програшна, програшна на 4 мільйони доларів. Дрібний гравець, який купує один білет, у кращому становищі — принаймні він має один шанс з 10 мільйонів виграти!

А якщо купити два білети? Тоді шанси на програш зменшуються, хоча, треба визнати, лише з 9 999 999 на 10 мільйонів до 9 999 998 на 10 мільйонів. Якщо купувати білети і далі, імовірність програти також знижуватиметься, поки ви не купите 6 мільйонів білетів. У цьому разі ваші шанси отримати джек-пот, а отже, повернути своє, становлять вагомі 60 %, тоді як програти — лише 40 %. Усупереч твердженню Сміта, купивши більше білетів, ви знизили ймовірність програшу.

Однак купіть ще один білет, і ви напевне втратите гроші (але буде це 1 долар чи 6 000 001 залежить від того, чи буде у вас виграшний білет).

Хід думки Сміта відтворити зараз тяжко, але він міг стати жертвою помилки «всі лінії прямі», міркуючи приблизно так: якщо купівля всіх білетів — це однозначний програш, то що більше білетів купуєш, то більшою стає ймовірність втратити гроші.

Придбання 6 мільйонів білетів мінімізує шанси втратити гроші, але це не означає, що так діяти правильно; має значення, скільки грошей ви втрачаєте. Покупець одного білета майже напевне втрачає гроші, але він знає, що багато не втратить. Власник 6 мільйонів білетів, незважаючи на нижчі шанси на програш, — у набагато небезпечнішому становищі. І, напевно, ви і далі вважаєте, що жоден з цих варіантів не дуже розумний. Як відзначає Сміт, якщо у лотереї держава має виграшне становище, то грати в будь-якому разі нерозумно.

Сміт у своїй аргументації випускає з уваги одну річ — поняття очікуваної цінності. Це формальне математичне поняття передає інтуїтивний здогад, який намагається виразити Сміт. Припустимо, ми маємо предмет, грошова вартість якого невизначена, — скажімо, лотерейний білет:

9 999 999 з 10 000 000 разів: білет не вартує нічого

1 з 10 000 000 разів: білет вартує 6 мільйонів доларів

Незважаючи на таку непевність, ми можемо бажати присвоїти білету певну цінність. Чому? Ну, скажімо, хтось скуповує у людей білети по 1 долару 20 центів. Чи буде розумним продати свій білет і покласти до кишені 20 центів прибутку, чи краще білет залишити собі? Залежатиме від того, яку цінність я присвоїв білету — більше чи менше за 1 долар 20 центів.

Ось як обчислювати очікувану цінність лотерейного білета. Для кожного з можливих результатів множимо ймовірність цього результату на цінність білета при цьому результаті. У нашому спрощеному випадку результатів лише два: виграш або програш. Тож отримуємо:

9 999 999/10 000 000 × 0 = 0 доларів;

1/10 000 000 × 6 000 000 = 0,60 долара.

Тепер результати додаємо:

0 + 0,60 = 0,60.

Тож очікувана цінність вашого білета становить 60 центів. Якщо лотофіл пропонує за ваш білет 1 долар 20 центів, очікувана цінність каже вам, що потрібно приставати на пропозицію. Ну, насправді очікувана цінність каже, що вам не варто було платити долар спочатку!

 Вартість:

 НАШ ФОРМАТ (украЇнською)

   друкована: 165 ₴;

Фото: Юлія Наконечна